Kamis, 16 Maret 2017

Fungsi (Relasi) Matematika

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunanyang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Ringkasan Materi
A.        Relasi
Aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke B disebut Relasi dari A ke B.
Di tulis : R : A→B.
Istilah-istilah :
Himpunan A disebut Domain = Daerah Asal
Himpunan B disebut Kodomain = Daerah Kawan
Range = Daerah Hasil
B.        Menyatakan Relasi
Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu :
1.      Diagram Panah
2.      Himpunan Pasangan Berurutan
3.      Grafik Cartesius
C.        Produk Cartesius
Jika x ϵ A dan y ϵ B, maka produk Cartesius A ke B adalah himpunan pasangan berurutan (x, y).
Ditulis : AxB ={(x, y)І xϵ A dan yϵ B}
Contoh :
A = {a, b, c}
B = {1, 2}
maka dengan menggunakan tabel A x B di peroleh :
A x B
1
2
a
(a, 1)
(a, 2)
b
(b, 1)
(b, 2)
c
(c, 1)
(c, 2)
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Sifat-sifat :
1.      A x B ≠ B x A
2.      n(A x B) = n(B x A)
D.       Pemetaan (Fungsi)
Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota himpunan B.



Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
Komposisi dua fungsi f(x) dan g(x)  dinotasikan dengan simbol (f \circ g)(x)  atau (g \circ f)(x) .
dimana
(f\circ g)(x)=f(g(x))
(g\circ f)(x)=g(f(x))
Sifat Komposisi Fungsi
  • (g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)
  • (f\circ (g\circ h))(x)=((f\circ g)\circ h)(x)
Contoh :
diberikan fungsi :
{\color{Red} f(x)=2x+1}
{\color{Blue} g(x)=3x^2}
{\color{DarkGreen} h(x)=\frac{1}{x+4}}
1. (f\circ g)(x) = ….?
* fungsi g(x) disubtitusikan ke fungsi f(x)
\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})\\&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} 3x^2})\\&=&{\color{Red} 2(}{\color{Blue} 3x^2}{\color{Red} )+1}\\(f\circ g)(x)&=&6x^2+1 \end{align*}
2. (g\circ h)(x) = ….?
* fungsi  h(x) disubtitusikan ke fungsi  g(x)
\begin{align*}(g\circ h)(x)&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} h(x)})\\&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}})\\&=&{\color{Blue} 3}\left ({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}} \right )^{\color{Blue} 2}\\&=&3\left (\frac{1}{x^2+8x+16} \right )\\(g\circ h)(x)&=&\frac{3}{x^2+8x+16} \end{align*}
3.(h\circ g\circ f)(x) =…?
* fungsi f(x) disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi g(x) nah, hasilnya baru disubtitusikan ke fungsi h(x), perhatikan warna mewakili subtitusi ….ok!
\begin{align*}(h\circ g\circ f)(x)&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} f(x)}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} 2x+1}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} 3}({\color{Red} 2x+1})^{\color{Blue} 2})\\&=&{\color{DarkGreen} h}(3(4x^2+4x+1))\\&=&{\color{DarkGreen} h}(12x^2+12x+3)\\&=&\frac{{\color{DarkGreen} 1}}{\left (12x^2+12x+3 \right ){\color{DarkGreen} +4}}\\&=&\frac{1}{12x^2+12x+7}\end{align*}
Bagaimana contoh diatas???sudah cukup jelas,kan???!!
Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya….

Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui
1. Mencari g(x)  jika  f(x)dan (f\circ g)(x)  diketahui
contoh soal dan pembahasan :
Diketahui (f\circ g)(x)=19-6x  dan  {\color{Red} f(x)=3x+1}  tentukan fungsi {\color{Blue} g(x)} !
jawab :
\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&19-6x\\{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )+1}&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )}&=&19-6x{\color{Red} -1}\\{\color{Blue} g(x)}&=&\frac{18-6x}{3}\\{\color{Blue} g(x)}&=&6-2x \end{align*}
2. Mencari f(x)   jika  g(x)dan (f\circ g)(x)  diketahui
contoh soal dan pembahasan :
Diketahui (f\circ g)(x)=2x+1 dan {\color{Blue} (g)(x)=x+3} tentukan {\color{Red} f(x)} !
jawab :
\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&2x+1\\f({\color{Blue} g(x)})&=&2x+1\\f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\end{align*}
Kita misalkan dulu :
\begin{align*}{\color{Blue} x+3}&=&{\color{DarkGreen} y}\\x&=&{\color{DarkGreen} y-3}\end{align*}
Subtitusikan kembali ke fungsi :
\begin{align*}f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2({\color{DarkGreen} y-3})+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-6+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-5\\f(x)&=&2x-5\end{align*}
Diposting oleh rio sanjaya di 00.04

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)
Diberdayakan oleh Blogger.